طريقة لحل المعادلات

معادلة الدرجة الثالثة
س3 +ب س2+ حـ س + د = 0 إذا استبدلنا س بـ س – ب/3 فأن المعادلة تتحول للصورة س3
+ك س + ل = 0 خالية من الحد المشتمل على س2 حيث ك ، ل حقيقيان وعليه تكون هناك
حالتين

أحدهما وجود ثلاثة جذور
حقيقية أو جذر حقيقي وجذران تخيليان مترافقان ولمعرفة في أي حالة نحن نشتق
المعادلة الأخيرة فنحصل على 3س2 + ك فإن كانت ك>0 فإن 3س2 + ك > 0 وعليه
تكون الدالة د(س) = س3+ك س – ل متزايدة دوماً وبالتالي يوجد جذر حقيقي واحد لأن
الانتقال للمتغير س من سالب ما لانهاية إلى موجب ما لانهاية فإن إشارة الدالة د(س)
تتغير من (-) إلى (+) .

والحالة الثانية أن تكون
ك < 0 فيكون للدالة د(س) قيمة عظمى عندما س = - جذر(- ك/3) وقيمة صغرى عندما س = جذر(- ك/3)
وبالتعويض عن هاتين القيمتين في د(س) فتكون القيمتين العظمى والصغرى هما ل +
(2ك/3)جذر((- ك/3) ، ل -
(2ك/3)جذر((- ك/3) فإن كان للقيمتين
نفس الإشارة بمعنى

( ل + (2ك/3)جذر((- ك/3) )( ل - (2ك/3)جذر((- ك/3) ) = ل2 +
2ل2/27
> 0 أو (ل2)/4 +(ك2)/27 > 0

فللمعادلة جذر حقيقي
واحد يقع في المجال[سالب ما لانهاية ، - جذر(- ك/3) ] أو المجال [موجب
ما لانهاية ، + جذر(- ك/3) ]

وإذا كان (ل2)/4
+(ك2)/27< 0(القيمة العظمى سالبة والصغرى موجبة) كانت إشارات الدالة د(س)عند
القيم

– ما لانهاية، - جذر(- ك/3)، جذر(- ك/3) ،
+ ما لانهاية هي - ، + ، - ، + على
الترتيب فإنه توجد ثلاثة جذور حقيقية

أما الحالة التي يكون
فيها (ل2)/4 +(ك2)/27 = 0 ، ك لا تساوي الصفر، ك < 0 فللمعادلة الجذور جذر(-
ك/3)،- جذر(- ك/3)، 3ل/ك

أما الحالة التي يكون
فيها ل = 0 ، ك لا تساوي الصفر فنحصل على س3 + ل = 0 وهنا يوجد جذر حقيقي واحد هو
(الجذر التكعيبي– ل)

أما الحالة التي يكون
فيها ل= ك = 0 فللمعادلة جذر مضاعف ثلاث مرات س = 0

لكن نحن في حاجة لمعرفة
الجذور كقانون للمعادلة س3 + ك س + ل = 0 سنضع س = م + ن ونعوض في المعادلة فنحصل
على

م3 + ن3 + ( م + ن )( 3
م ن + ك ) + ل = 0 ونأخذ الشرط 3 م ن + ك = 0 فتصبح المعادلة السابقة بالسابقة م3
+ ن3 = - ل و بحل المعادلتين م ن =
- ك/3 ---(1) ،
م3 + ن3 = - ل ---(2) نحصل على المعادلة م6 + ل م3 – (ك3)/27
=0 ومنها

م = الجذر التكعيبي لـ
(- ل/2 + جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27)) ،
ن = الجذر التكعيبي لـ (- ل/2 - جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27)) وعودة للمعادلة

س = م + ن يكون

س = الجذر التكعيبي لـ
(- ل/2 + جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27) ) + الجذر التكعيبي لـ (- ل/2 - جذر( (ل2)/4 +
(ك3)/27))

وهذا القانون يعطي حل
للمعادلة س3 + ك س + ل = 0 ويعرف بقانون كاردان نسبة للعالم الإيطالي كاردان في
القرن السادس عشر وإذا رمزنا لما موجود تحت الجذر التكعيبي بالرمزين ى ، ي تكون س
= (ى)^(1/3) + (ي)^(1/3) وتوجد هنا 9 قيم ثلاثة فقط لمعادلتنا والتي يجب أن يكون
حاصل ضرب الجذرين التكعيبيين مساوياً – ك/3 ونعلم أن الجذرين التكعيبيين للواحد
الصحيح هما

W
= - ½ + ((جذر3)/2) ت ، W^2 = - ½ - ((جذر3)/2) ت وعليه تكون الجذور الثلاثة المطلوبة هي

(ى)^(1/3) +
(ي)^(1/3) ، w(ى)^(1/3)
+ w^2((ي)^(1/3)) ، w^2(
(ى)^(1/3)(
+w (ي)^(1/3)